树上问题

前言

树是一种伟大的植物

啊不对

树是一种伟大的发明

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树的重心

定义

找到一个点,其所有的子树(包括向上的)中最大的节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心。

删去重心后，可以使生成的多棵树尽可能平衡。

性质

• 树的重心如果不唯一，则至多有两个，且这两个重心相邻。
• 以树的重心为根时，所有子树的大小都不超过整棵树大小的一半。
• 树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么到它们的距离和一样。
• 把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，那么新的树的重心在连接原来两棵树的重心的路径上。
• 在一棵树上添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

求法

按定义求

在 DFS 中计算每个子树的大小，记录向下的子树的最大大小，利用总点数 - 当前子树的大小得到向上的子树的大小，然后就可以依据定义找到重心了。

void dfs(int u, int fa)
{
	size[u] = 1;
	dp[u] = 0;
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
	{
		int v = edge[i].to;
		if(v==fa)
		    continue;
		dfs(v, u);
		size[u] += size[v];
		dp[u] = max(dp[u], size[v]);
	}
	dp[u] = max(dp[u], N-size[u]);       //上面提到的处理
	if(dp[u]<dp[ans])
	    ans = u;
}

附例题

P1364 医院设置 - 洛谷

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点分治

点分治用于处理与树的路径有关的问题

它的核心是：处理过重心的路径，在子树中的路径递归处理

虚树

动态树LCT

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引用来源 侵删

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树的重心_百度百科 (baidu.com)

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