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朴素矩阵乘法为什么满足结合律
- 乘法对加法有分配律
- 加法有交换律
- $A\times B\times C=D$
- $D_{i,j}=\sum _{k}((A\times B)_{i,k}\times C_{k,j})=\sum_{k}\left( \sum_{p}(A_{i,p}\times B_{p,k}) \times C_{k,j}\right)$
定义广义矩阵乘法
- $C_{i,j}=\oplus _k({A_{i,k}\gamma B_{k,j}})$
- 若 $\gamma$ 对 $\oplus$ 具有分配律且 $\oplus$ 具有交换律，则广义矩阵乘法满足结合律
- 即需要满足 $(a\oplus b)\gamma ~c=(a\gamma c)\oplus(b\gamma c)$
- 举个例子：
  - $C_{i,j}=\max_{k}(A_{i,k}+B_{j,k})$
  - 显然 $\max$ 具有交换律，且一堆数取 $\max$ 再加一个数显然等于这堆数分别加一个数再取 $\max$
  - 所以这种广义矩阵乘法满足结合律

关于矩阵乘法的一些记录